Все указанные выше показатели естественного движения и миграции характеризуют лишь отдельные компоненты. Для оценки демографических процессов в целом в статистике используются различные виды вероятностных таблиц. Вероятностные таблицы – это упорядоченные ряды взаимосвязанных показателей, характеризующих течение одного или нескольких демографических процессов в изучаемых совокупностях населения. Все многообразие вероятностных таблиц, применяемых в статистке, классифицируется следующим образом.

По формам движения населения (таблицы смертности, рождаемости, брачности, разводимости, миграции).

По полу (для населения обоего пола, для мужчин и женщин отдельно).

По возрасту (полные, по однолетним группам; краткие – для 5-летних и 10-летних групп).

По месту жительства (для городского и сельского населения) и по другим признакам.

Построение вероятных таблиц основано на использовании следующих свойств демографических событий:

Первое – необратимость событий. Нельзя дважды родиться или умереть, перейти из старшей возрастной группы в младшую;

Второе – неповторимость событий, можно только один раз вступить в первый брак или родить первенца;

Третье – строгое соблюдение очередности событий – нельзя вступить во второй брак, не вступив в первый и т.п.

Наиболее часто используются таблицы смертности или дожития.

Таблицы смертности или дожития представляют упорядоченные ряды взаимосвязанных показателей, характеризующих порядок доживания изучаемой совокупности населения до определенного возраста в конкретных условиях места и времени. Основная цель их построения – показать порядок дожития до определенного возраста совокупности сверстников или современников, сокращение численности этого населения при переходе из младшей возрастной группы в старшую в результате смертности.

Как и любая статистическая таблица, таблица дожития имеет свое подлежащее и сказуемое. В подлежащем одна графа – возраст, под которым понимается число полных прожитых лет с момента рождения человека. Начальный возраст – 0 лет, конечный – 100 лет, так как в течение столетия вся совокупность родившихся 100 лет назад вымирает (за редкими исключениями). Таблицы строятся для гипотетического (предполагаемого) населения, обычно это 100000 человек.

Основные показатели таблицы смертности или дожития (сказуемое таблицы):

l x – число доживших до возраста х из каждых 100000 родившихся х лет назад.

d x – число умерших в возрасте х.

Определяется, как d x =l x –l x +1 , отсюда l x = d x +l x +1 ; l x +1 =l x –d x .

q x – вероятность умереть в возрасте x лет;

определяется по формуле: q x =d x:l x ; отсюда d x =q x ·l x .

P x – вероятность дожить до возраста (x+1) год всеми, кто дожил до возраста х.

Определяется по формулам: P x l x +1:l x , или P x =1-q x , так как P x +q x =1; q x и P x считаются в долях единицы с точностью до 0,00001.

L x – среднее число живущих в интервале возраста от х до (х+1) года;

определяется по формуле: L x =(l x +l x +1):2.

T x – число человеко-лет, которое предстоит прожить совокупности живущих , достигших возраста х лет, начиная с этого возраста и кончая предельным (W),

определяется по формулам:

T x = L x + L x+1 + L x+2 + … + L W-1 ;

T o = L o + L 1 + L 2 + … + L W-1 .

e x – средняя предстоящая продолжительность жизни населения, достигшего х лет.

Рассчитывается по формуле:

e x = T x: l x ;

e o –ожидаемая продолжительность жизни при рождении.

Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (Шекли)

Распределения продолжительности жизни и таблицы смертности

Введение

Страхование может увеличить ожидаемую полезность для лица, подвергающегося риску случайных потерь. Основой простых моделей для страховых договоров, заключенных на один временной период, являются бернуллиевские случайные величины, отражающие наступление или ненаступление страхового случая.

Наступление страхового случая в некоторых примерах приводит к другому случайному процессу, определяющему величину потерь. Существуют модели страховых систем, предназначенных для работы со случайными потерями, в которых случайность связана с тем, насколько долго будет жить некое лицо.

Основным структурным элементом подобных моделей является случайная величина, называемая продолжительностью предстоящей жизни (временем дожития) и обозначаемая через Т(х).

Итак, изложим ряд идей, которые позволят описывать и использовать распределение как этой случайной величины, так и соответствующего ей возраста в момент смерти Х.

Покажем, как распределение случайной величины "возраст в момент смерти" можно представить посредством таблицы смертности. Эти таблицы полезны во многих областях знания. Поэтому в каждой из этих разнообразных областей, где используются таблицы смертности, была разработана свои терминология и обозначения.

Например, инженеры используют таблицы смертности для изучения надежности сложных механических и электронных систем.

В биостатистике таблицы смертности используются для сравнения эффективности различных методов лечения серьёзных заболеваний.

Демографы используют таблицы смертности как средство популяционного проектирования. Мы будем использовать таблицы смертности для построения моделей страховых систем, призванных содействовать людям, находящимся перед лицом неопределенности, связанной с моментом наступления их смерти.

Таблица смертности является незаменимой компонентой многих моделей актуарной науки. Некоторые исследователи считают датой рождения актуарной науки 1693 год. В этом году Эдмунд Галлей (E. Halley) опубликовал труд "An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Various of Births and Funerals at the City of Breslau" ("Оценка степени смертности человечества, выведенная из различных таблиц рождения и погребения в городе Бреславле").

Таблицы смертности, названные Бреславльскими, которые содержатся в статье Галлея, по-прежнему представляют интерес из-за удивительно современной системы обозначений и понятий.

Вероятности, относящиеся к возрасту в момент смерти

Опишем неопределенность, связанную с возрастом в момент наступления смерти, в вероятностных терминах.

Функция дожития

Рассмотрим новорожденного. Возраст в момент смерти Х для этого новорожденного является случайной величиной непрерывного типа. Обозначим через функцию распределения этой случайной величины,

и положим

Мы будем всегда предполагать, что , откуда следует, что s(0)=1.

Функция s(x) называется функцией дожития . Для любого положительного х величина s(x) является вероятностью того, что новорожденный достигнет возраста х. Распределение с.в. Х может определяться либо заданием функции распределения либо функции s(x).

В актуарной науке и в демографии функция дожития традиционно использовалась как исходная точка для дальнейших исследований.

В теории вероятностей и в статистике такую роль играет функция распределения. Однако из свойств функции распределения мы можем вывести соответствующие свойства функции дожития.

Опираясь на вероятностные законы, мы можем формулировать вероятностные утверждения о возрасте в момент смерти в терминах либо функции дожития, либо функции распределения.

Например, вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z(x

Продолжительность предстоящей жизни для лица в возрасте х

Условная вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z при условии, что он доживет до возраста х, равна

Символ (х) используется для обозначения лица возраста х. Продолжительность предстоящей жизни этого лица (х), Х - х, обозначается через Т(х).

Актуарные символы отличаются от обозначений, принятых в теории вероятностей, и читатель, возможно, с ними не знаком. Например, функция одного переменного, которая записывается в виде q(x) в вероятных обозначениях, в этой системе будет записываться в виде qx.

Аналогично, функция многих переменных записывается в актуарных обозначениях при помощи комбинации верхних и нижних индексов и иных символов.

Для формулировки вероятных утверждений о Т(х) мы будем пользоваться обозначениями

Символ можно интерпретировать как вероятность того, что (х) умрет в течение ближайших t лет. Другими словами, является функцией распределения с.в. Т(х). С другой стороны может интерпретироваться как вероятность того, что (х) достигнет возраста х+t. Другими словами, является функцией дожития для (х). В частном случае лица в возрасте 0 мы имеем Т(0)=Х и

Если t=1 тот по соглашению мы можем опускать первый индекс в обозначениях, введенных формулами (2.4) и (2.5), получая

qx=P[(x) умрет в течение одного года],

px=P[(x)доживет до возраста х+1 лет].

Существует специальный символ для более общего события, состоящего в том, что (х) проживет t лет и умрет в течение последующих u лет, т.е. что (х) умрет в возрасте между x+t и x+t+u, а именно

Как и ранее, если u=1, то соответствующий нижний индекс в обозначении опускается, и мы получаем символ .

Сейчас у нас есть два выражения для вероятности того, что (х) умрет в возрасте между х и x+u. Формула (2.7) при t=0 дает первое из этих выражений, а формула (2.3) с z=x+u - второе выражение. Будут ли эти две вероятности различными?

Формула (2.3) может интерпретироваться как условная вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z=x+u при условии, что он доживет до возраста х.

Единственная информация о новорожденном, к настоящему моменту достигшем возраста х, состоит в том, что он дожил до этого возраста. Поэтому рассматриваемое вероятностное утверждение основано на условном распределении при условии дожития для новорожденных.

С другой стороны, формула (2.7) при t=0 определяет вероятность того, что лицо, наблюдаемое в возрасте х, умрет в возрасте между х и х+u.

Данные о лице в возрасте х могут содержать не только информацию о том, что оно дожило до этого возраста. Это может быть информация о том, что рассматриваемое лицо прошло медицинское обследование перед заключением договора о страховании, или же о том, что это лицо только что начало курс лечения от серьезного заболевания.

Таблицы смертности в том случае, когда данные о лице в возрасте х содержат не только информацию, что новорожденный дожил до возраста х, обсуждаются в, где для этих таблиц вводятся дополнительные обозначения.

Будем продолжать развивать теорию, предполагая, что формулы (2.3) и (2.7) не содержат смысловых различий, т.е. будем до раздела 8 считать, что информация о лице, дожившем до возраста х, дает то же условное распределение продолжительности предстоящей жизни, что и информация о дожитии новорожденного до возраста х, а именно

(2.8)

(2.9)

При таком подходе формула (2.7) и многие её частные случаи могут быть выражены в виде

Пошаговая продолжительность предстоящей жизни

С продолжительностью предстоящей жизни связана дискретная случайная величина, определяющая число полных будущих лет, прожитых лицом (х) до смерти. Она называется пошаговой продолжительностью предстоящей жизни лица (х) и обозначается через К(х). Поскольку с.в. К(х) является наибольшим целым числом, не превосходящим Т(х), ее функция вероятностей задается выражением

k=0,1,2,... (2.11)

Перемена неравенств местами здесь возможна, поскольку при наших предположениях о том, что распределение Т(х) непрерывно, Р[Т(х)=k]=P=0. Формула (2.11) является частным случаем формулы (2.7), где u=1 и k является неотрицательным целым числом. Из соотношения (2.11) следует, что функция распределения с.в. К(х) является ступенчатой функцией и

и k является целой частью числа у.

Часто из контекста ясно, что Т(х) является продолжительностью предстоящей жизни лица (х). В этом случае мы будем писать Т вместо Т(х). Аналогично, мы будем писать К вместо К(х).

Интенсивность смертности

Формула (2.3) выражает в терминах функции распределения и в терминах функции дожития условную вероятность того, что лицо (0) умрет в возрасте между х и z при условии, при условии, что оно доживет до возраста х.

Если разность z-x постоянна и равна, скажем с, то рассматриваемая как функция от х, эта условная вероятность описывает распределение вероятности смерти в ближайшем будущем (между моментами времени 0 и с) для лица, достигшего возраста х. Аналог этой функции, рассматривающий смерть в определенный момент, можно получить, используя плотность вероятности смерти по достижении возраста х, т.е. формулу (2.3) с ,

В этом выражении является функцией плотности непрерывной случайной величины "возраст в момент смерти". Функция в формуле (2.12) может интерпретироваться в терминах условных плотностей. Для каждого возраста х она дает значение в точке х условной функции плотности с.в. Х при условии дожития до возраста х и обозначается через .

Мы получаем

(2.13)

Из свойств функций следует, что .

В актуарной науке и в демографии называется интенсивностью смертности. В теории надежности, которая занимается исследованием вероятностей безотказной работы механизмов и систем, эта величина называется интенсивностью отказов.

Как и функция дожития, интенсивность смертности может использоваться для определения распределения с.в.Х. Чтобы это сделать, заменим в формуле (2.13) х на у и после некоторых преобразований получим

Интегрируя это выражение от х до х+n, получим

Потенцируя получаем

(2.14)

Иногда удобно переписать формулу (2.14), сделав замену s=у-х:

(2.15)

В частности, мы изменим обозначения с тем, чтобы они соответствовали использованным в формуле (2.6), положив возраст уже живших лиц равным 0 и обозначив возраст дожития через х. Тогда мы получим

(2.16)

Кроме того,

(2.17)

и (2.18)

Пусть обозначает соответственно функцию распределения и функцию плотности с.в. Т(х), продолжительности предстоящей жизни лица (х). Заметим, что (см. обозначения (2.4)). Таким образом,

(2.19)

Значит, является вероятностью того, что лицо (х) умрет в возрасте между t и t+dt, и

где в качестве верхнего предела интегрирования записано "плюс бесконечность" (это сокращенная запись интегрирования по всей области изменения функции плотности, лежащей на положительной полуоси).

Из формулы (2.19) следует, что

(2.20)

Эта эквивалентная форма бывает полезной в некоторых рассуждениях актуарной математики.

Поскольку мы имеем . Таким образом

В нижней половине таблицы 2.1. собраны некоторые соотношения между стандартными функциями теории вероятностей и функциями, характерными для приложений, связанных с возрастом в момент смерти.

Можно привести много примеров, когда соотношения, связанные с возрастом в момент смерти, можно переформулировать в более общих вероятностных терминах. Следующий пример это иллюстрирует.

Пример 2.1. Если обозначает дополнение события А в некотором выборочном пространстве и если , то следующее соотношение является вероятностным тождеством

Перепишем это тождество в актуарных обозначениях для событий

Решение. Вероятность переписывается в виде превращается в

Таким образом, мы получаем

Таблица 2.1. Некоторые функции для с.в. Х, возраста в момент смерти

Таблицы смертности

Публикуемая таблица смертности обычно содержит расположенные по возрастам индивидуумов значения основных функций и, возможно, дополнительных функций, получаемых из них.

Перед тем как представить такую таблицу, рассмотрим интерпретацию таких функций, которая непосредственно связана с вероятностными функциями, обсуждавшимися в разделе 2.

Связь функций, содержащихся в таблице смертности, с функцией дожития

В формуле (2.9) мы выразили условную вероятность того, что лицо (х) умрет в течение t лет, следующим образом:

и, в частности,

Рассмотрим теперь группу из l0 новорожденных, положив, например, l0=100 000. Для каждого новорожденного случайная величина "возраст в момент смерти" имеет распределение, заданное функцией дожития s(x). Будем обозначать через L(x) число лиц в группе, доживших до возраста х. Припишем всем лицам в группе номера j=1,2,3,...,l0 и заметим, что

где является индикатором дожития лица с номером j, т.е.

Так как E = s(x), то

Мы обозначим Е[λ(х)] через lx , это означает, что lx — математическое ожидание числа доживших до возраста х из l0 новорожденных, и мы имеем

Далее, в предположении, что индикаторы IJ взаимно независимы, λ(х) имеет биномиальное распределение с параметрами n= l0 и р = s (x). Отметим, однако, что в равенстве (3.1) не требуется предположения о независимости.

Аналогично, обозначим через ПDX число умерших в возрасте между х и х + п из начальной совокупности, состоящей из l0 лиц.

Мы обозначаем Е[ПDX] через ПdX .

Поскольку для новорожденного вероятность смерти в возрасте между х и х + п равна s (x) - s (x + n), используя рассуждения, приводившиеся выше относительно lx , получим

Если n = 1, мы опускаем левый нижний индекс в выражениях ПDX и ПdX.

Из формулы (3.1) видно, что

(3.4)

Поскольку

сомножитель lxμ(х) в (3.4) можно интерпретировать как ожидаемую плотность смертей в возрастном интервале (х,х + dх). Заметим, далее, что

, (3.5)

, (3.6)

(3.7)

Для удобства ссылок мы будем называть группу из l0 новорожденных, каждый из которых имеет функцию дожития s (x), совокупностью случайного дожития.

Пример таблицы смертности

В приводимой ниже табл. 3.1, которая называется «Таблица смертности населения: США, 1979-1981», функции tqX ,lx , tdX представлены для l0 = 100000.

За исключением первого года жизни, значение t в табулируемых функциях tqX и tdX равно 1. Другие функции, содержащиеся в этой таблице, рассматриваются в разд. 3.5.

Эта таблица создавалась не на основе наблюдений за 100000 новорожденными вплоть до смерти последнего из них. Она была основана на оценках вероятностей смерти при условии дожития до различных возрастов, полученных из данных о народонаселении США в годы, близкие к 1980-му году, году переписи населения.

Используя понятие совокупности случайного дожития, мы должны сделать предполoжение, что вероятности, полученные на основе этой таблицы, будут соответствовать продолжительности жизни тех, кто принадлежит к этой совокупности дожития.

Полезно сделать ряд замечаний относительно приведенной таблицы.

Замечания.

Ожидается, что примерно 1% новорожденных, входящих в совокупность дожития, умрет на первом году жизни.

Следует ожидать, что примерно 77% из группы новорожденных доживет до возраста 65 лет.

Максимальное число смертей в группе ожидается в возрасте между 83 и 84 годами.

Известно мало случаев, когда смерть наступает в возрасте свыше 110 лет. Поэтому часто предполагается, что существует такой возраст w , что s (x) > 0 для x < w и s (x) = 0 для x>= w .

Если существование такого возраста w предполагается, то он называется предельным возрастом. Для приведенной таблицы предельный возраст не определен. Очевидно, имеется положительная вероятность дожить до 110 лет, но таблица не содержит указаний на возраст w .

Локальные минимумы для ожидаемого числа смертей расположены в районе 11 и 27 лет, а локальный максимум — в районе 24 лет.

Хотя значения lx были округлены до целых чисел, в соответствии с формулой (3.3.1) делать это не обязательно.

Такое представление информации, как табл. 3.1, является стандартным методом описания распределения возраста в момент смерти.

Другим способом является представление функции дожития в аналитической форме, такой, как s(x)=e-cx , c>0 , x>=0. Однако большинство исследований смертности среди людей для нужд страхования использует представление s (x) — l0x / lx , что иллюстрируется табл.3.1.

Поскольку величина 100000s(x) представлена только для целых значений х, при вычислении s(x) для нецелых значений аргумента необходимо прибегать к интерполяции. Этот вопрос обсуждается в разд. 3.6.

Пример 3.1. Используя табл. 3.1, вычислим вероятность того, что лицо (20)

1) доживет до возраста 100,

2) умрет, не доживя до 70 лет,

3) умрет в десятой декаде своей жизни.

Чтобы оценить роль таблиц смертности, рассмотрим рис. 3.1, 3.2 и 3.3. Они отражают текущую смертность народонаселения, а не данные, приведенные в табл. 3.1.

На рис. 3.1 надо обратить внимание на следующее:

Интенсивность смертности положительна, и требование , очевидно, выполнено

Интенсивность смертности довольно высока на начальном этапе, а затем резко снижается до минимума в окрестности возраста 10 лет.

На рис. 3.2 и 3.3 надо обратить внимание на следующее:

Функция lxμ(x) пропорциональна функции плотности с.в. «возраст в момент смерти» для новорожденного. Поскольку lxμ(x) является ожидаемой плотностью смертей в возрасте х, когда речь идет о совокупности случайного дожития, график функции lxμ(x) называется кривой смертности.

Функция lxμ(x) имеет локальный минимум в окрестности возраста 10 лет. Мода распределения смертей, т. е. возраст, в котором реализуется максимум кривой смертности, находится в районе 80 лет.

Функция lx пропорциональна функции дожития lxμ(x). Ее также можно интерпретировать как ожидаемое число доживших до возраста х из всей исходной группы, состоявшей из l0 лиц.

Точки локального экстремума функции lxμ(x) соответствуют точкам перегиба функции lx, поскольку

4. Совокупность детерминированного дожития

Перейдем ко второй, невероятностной, интерпретации таблиц смертности. С точки зрения математики она восходит к понятию коэффициента выбытия (отрицательного роста) и потому связана с приложениями к задачам о скорости роста в биологии и в экономике. Она по природе детерминистическая и приводит к понятию совокупности детерминированного дожития, или когорты.

Совокупность детерминированного дожития, как вытекает из таблицы смертности, имеет следующие характеристики:

Изначально она состоит из l0 лиц возраста 0.

Для членов совокупности в любом возрасте действуют фактические годовые коэффициенты смертности (выбытия), которые определяются величинами qx в таблице смертности.

Совокупность является замкнутой. В нее не может входить никто, кроме тех l0 лиц, которые находились в ней в самом начале. Выход из этой совокупности обусловлен фактическими годовыми коэффициентами смертности (выбытия) и только ими.

Из приведенных характеристик вытекает, что

………………………….. (4.1)

где lx обозначает число лиц, доживших до возраста х в совокупности дожития. Эта цепочка равенств, порожденная числом l0, называемым корнем таблицы смертности, и множеством значений qx , может быть переписана в виде

………….. (4.2)

Между совокупностью детерминированного дожития и моделью сложных процентов имеется аналогия, некоторые положения которой суммируются в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Понятия теории сложных процентов и соответствующие им понятия в теории совокупностей детерминированного дожития

Сложные проценты	Совокупность дожития
A (t)=Величина капитала в момент времени t , время измеряется в годах	lx =Размер группы возраста x , возраст измеряется в годах
Эффективная годовая процентная ставка (приращения)	Фактический годовой коэффициент смертности (выбытия)
Эффективная n -летняя процентная ставка, начиная с времени t	Фактический -летний коэффициент смертности, начиная с возраста х
Интенсивность счисления процента в момент времени t	Интенсивность смерти в возрасте х

Заголовки к столбцам табл. 3.1 для tqx ,lx, tdx относятся к совокупности детерминированного дожития. Хотя математические основы для совокупностей случайного и детерминированного дожития различны, функции tqx ,lx, tdx имеют одинаковые математические свойства и анализируются одинаково.

Понятие совокупности случайного дожития имеет то преимущество, что позволяет пользоваться всем аппаратом теории вероятностей. Совокупность детерминированного дожития концептуально проще и ее легче использовать, но она не отражает случайных колебаний числа доживших до определенного возраста.

Другие характеристики, связанные с таблицами смертности

Выведем выражения для некоторых общеупотребительных характеристик распределений с.в. T(х) и K(х) и введем общий метод вычислений некоторых из этих характеристик.

Характеристики

Математическое ожидание с.в. Т(х), обозначаемое через èx, называется полной ожидаемой продолжительностью жизни. Используя интегрирование по частям, мы получим

(5.1)

Из существования E следует соотношение . Таким образом,

Полная ожидаемая продолжительность жизни в различных возрастах часто используется для сравнения уровней общественного здравоохранения различных стран. Аналогичное интегрирование по частям дает эквивалентное выражение для E :

(5.3)

Этот результат полезен для вычисления D [ T (x)] по формуле

(5.4)

Во всех приведенных выкладках мы предполагали, что E и E существуют. Можно построить функцию дожития s (x) = (1 + х) -1 , для которой это будет не так.

Можно определить другие характеристики распределения с.в. Т(х). Медиану продолжительности предстоящей жизни лица (x), которая обозначается через m (x) , можно найти как решение уравнения

или

относительно m (х). В частности, m(0) является решением уравнения s = 1/2. Мы также можем найти моду распределения с.в. Т(х), указав значение t , которое доставляет максимальное значение функции tPxμ(x+t) .

Математическое ожидание с.в. К(х) обозначается через еx . Эта величина называется пошаговой ожидаемой продолжительностью жизни. Применяя определение и описанное в приложении 5 суммирование по частям, мы получаем

(5.6)

Снова из существования E [ K (x)] следует соотношение limkk-> ∞(- kpx)=0 . Таким образом, проведя замену переменной, по которой проводится суммирование, имеем

(5.7)

Повторяя рассуждения, проведенные для непрерывной модели, и пользуясь формулой суммирования по частям, получаем

Из существования Е[ K (x)2 ] вытекает соотношение limkk-> ∞k2(- kpx)=0 .Проведя замену переменной, по которой производится суммирование, получаем

(5.9)

(5.10)

Для завершения обсуждения некоторых компонент табл. 3.1 мы должны ввести дополнительные функции. Символ L2 обозначает общее ожидаемое число лет, прожитых между возрастами x и x + 1 дожившими до возраста х лицами из исходной группы, содержавшей lo новорожденных. Мы имеем

(5.11)

где интеграл в правой части равен числу лет, прожитых теми, кто умер в возрастном интервале между х и х+1, a lx+1 равно числу лет, прожитых в возрастном интервале между х и х + 1 теми, кто дожил до возраста х + 1.

Интегрирование по частям дает

(5.12)

Функция Lx также используется в определении повозрастного коэффициента смертности в интервале между х и х + 1, который обозначается через mx , где

(5.13)

Приведенные выше определения для mx и Lx можно распространить на воз растные интервалы длины, отличной от единицы:

(5.14)

(5.15)

Для совокупности случайного дожития nLx является общим ожидаемым числом лет, которые прожиты в возрастном интервале между х и х + n дожившими до возраста ж лицами из исходной группы, содержавшей l о новорожденных, а nmx является повозрастным коэффициентом смертности, наблюдавшимся в этой группе на интервале (х, х + n).

Символ Tx обозначает общее число лет, прожитых после достижения возраста х лицами, дожившими до этого возраста, из исходной группы, содержавшей l0 новорожденных. Мы имеем

(5.16)

Последнее выражение можно интерпретировать как интеграл от общего времени, прожитого между возрастами x + t и x + t + dt группой из lx+t лиц, которые дожили до этого возрастного интервала. Обратим также внимание, что Tx является пределом величины nLx , когда n стремится к бесконечности.

Среднее число лет предстоящей жизни для lx лиц из группы, доживших до возраста x, определяется выражением

в соответствии с формулами (5.1) и (5.2).

Мы можем найти выражение для среднего числа лет, прожитых между возрастами х и х + n группой из lx лиц, доживших до возраста х:

Эта функция является усеченной (на n-летнем интервале) полной ожидаемой продолжительностью жизни для лиц (х) и обозначается через .

Последней функцией, связанной с описанной в этом разделе интерпретацией таблицы смертности, является среднее число лет, прожитых между возрастами х и х + 1 теми лицами в группе доживших до возраста х, которые умирают в некоторый момент между этими возрастами. Эта функция обозначается через α(х) и определяется соотношением

(5.18)

При вероятностном взгляде на таблицы смертности мы получили бы

Если мы предполагаем, что

т. е. если моменты смерти равномерно распределены внутри годичного возрастного интервала, то мы получим

Это обычное приближение функции α(х), пригодное для лиц всех возрастов, кроме совсем юных и очень старых, где, как показывает рис. 3.2, это предположение может не соответствовать действительности.

Пример 5.1. Покажем, что

Решение. Из (5.11), (5.12) и (5.18) мы получаем

Формулу можно обосновать, приближая интеграл в (5.12) с помощью формулы трапеций

5.2. Рекуррентные формулы

Пример 5.1 иллюстрирует применение численного анализа для нахождения характеристик таблиц смертности. Для приближенного интегрирования используется формула трапеций.

Для иллюстрации другого вычислительного метода, который использует рекуррентные формулы, рассмотрим вычисление полных и пошаговых ожидаемых продолжительностей жизни. При применении рекуррентных формул будем использовать одну из двух следующих форм:

обратная рекуррентная формула

прямая рекуррентная формула

(5.20)

Переменная х обычно принимает целые неотрицательные значения.

Таблица 5.1. Обратные рекуррентные формулы для ex и

Для вычисления функции u(х) при целых неотрицательных значениях х нам нужно знать соответствующие значения функций с(х) и d(x) и начальное значение функции и(х) . Эта процедура используется в последующих главах и иллюстрируется в табл. 3.5.1, где для вычисления ex и применяются обратные рекуррентные формулы.

6. Предположения для дробных возрастов

Ранее мы обсуждали непрерывную случайную величину Т, продолжительность предстоящей жизни, и дискретную случайную величину К, пошаговую продолжительность предстоящей жизни.

Таблица смертности, представленная в разделе 3, полностью определяет распределение вероятностей с.в. К. Для определения распределения с.в. Т мы должны постулировать некоторую аналитическую форму или основываться на таблице смертности, приняв некоторое предположение о структуре распределения между целыми точками.

Рассмотрим три широко используемых в актуарной науке предположения. Они будут сформулированы в терминах функции дожития и в такой форме, которая позволяет показать природу интерполяции на интервале (х,х + 1), вытекающую из каждого из этих предположений. В каждом утверждении х является целым и 0<=t<=1. Сформулируем предположения:

Линейная интерполяция: s(x + t) = (1 — t) s (x) + t s(x + 1). Это приводит к равномерному распределению или, точнее, к равномерному распределению моментов смерти внутри каждого годичного возрастного интервала. При этом предположении tPxявляется линейной функцией.

Показательная интерполяция, или линейная интерполяция для ln(s(x + t) : ln(s(x - 1)) = (1 — t)ln(s (x) + t ln(s (x + 1)). Это согласуется с предположением о постоянной интенсивности смертности внутри каждого годичного возрастного интервала. При этом предположении tPxявляется показательной функцией.

Гармоническая интерполяция: ln(x + t) = (l — t)ln(s(x))+ t ln(s(x+ l)). Это то, что называется предположением о гиперболичности (исторически, предположением Балъдуччи, поскольку в этом случае tPxявляется гиперболической кривой.

Опираясь на эти основные определения, для остальных стандартных вероятностных функций можно вывести формулы в терминах вероятностей, указанных в таблице смертности.

Такие результаты представлены в табл. 6.1. Заметим, что мы с тем же успехом могли бы сформулировать эквивалентные определения в терминах функции плотности, функции распределения или интенсивности смертности.

Вывод выражений, входящих в табл. 6.1, является просто упражнением, заключающимся в подстановке сформулированных выше предположений о s(x + t) в соответствующие формулы разделах 2 и 3. Мы продемонстрируем этот процесс для равномерного распределения смертей. Для определения первого выражения в столбце, относящемся к равномерному распределению, начнем с соотношения

а затем подставим соответствующее выражение для s(x + t) и получим

Для второго выражения воспользуемся формулой (2.13) и

Деление числителя и знаменателя в правой части на s(x) приводит к формуле

Третье выражение является частным случаем четвертого при у = 1 — t . Рассматривая четвертое выражение, начнем с равенства

затем, подставив соответствующее выражение для s(x + t) и s(x + t + у) , получим

Пятое выражение является дополнением первого, и последнее выражение в столбце, относящемся к равномерному распределению, является произведением второго и пятого выражений.

Таблица 6.1. Вероятностные функции для дробных возрастов

Если, как и ранее, х является целым числом, то анализ можно провести, введя случайную величину S = S(x), такую, что

Где Т является продолжительностью предстоящей жизни, К — пошаговой продолжительностью предстоящей жизни, a S — случайной величиной, представляющей прожитую дробную часть года, в котором наступила смерть.

Поскольку К является неотрицательной целочисленной случайной величиной, a S — случайной величиной непрерывного типа, вся масса которой сосредоточена на интервале (0,1), мы можем исследовать их совместное распределение, записав

P[(K = k)∧(S<=s)]=-P(k

Теперь, воспользовавшись выражением для s q x +k в предположении равномерности распределения, как показано в табл. 6.1, получим

P[(K = k)∧(S<=s)] = kPx sPx+k = k|qxs = P(K = k)P(S<=s)... (6.2)

Таким образом, совместное распределение св. К и S может быть разложено на произведение маргинальных распределений с.в. К и S. Поэтому в предположении равномерности распределения моментов смерти с.в. К и S оказываются независимыми. Поскольку распределение P(S<=s) = s является равномерным на (0,1), св. S имеет именно такое равномерное распределение.

Пример 6.1. Будут ли св. К и S независимыми в предположении постоянной интенсивности смертности?

Решение. Воспользовавшись информацией из табл. 6.1, относящейся к пред- пол ожению о постоянной интенсивности смертности, мы получаем

P[(K = k)∧(S<=s)] = kPx sPx+k = kPx

Для обсуждения этого результата будем различать два случая:

Если в выражение для рx+kвходит к, то мы не можем представить совместное распределение св. К и S в виде произведения маргинальных распределений. Отсюда мы делаем вывод, что с.в. К и S не являются независимыми.

В частном случае, когда рx+k = рx— константа,

Для этого частного случая мы получаем, что с.в. К и S оказываются независимыми в предположении постоянной интенсивности смертности. Ў

Пример 6.2. Покажем, что в предположении равномерности распределения смертей

Решение. (a)

(b) D[T] = D. Из независимости св. К и 5 в предположении равномерности распределения смертей получаем D[T] = D[K] + D[S]. Далее, поскольку с.в. S равномерно распределена на (0,1), D[T] = D[K] + 1/2. Ў

7. Некоторые аналитические законы смертности

Имеется три основных аргумента в пользу принятия аналитического выражения для функции смертности или для функции дожития.

Первый — философский. Многие явления, изучавшиеся в физике, можно эффективно объяснить с помощью простых формул. Поэтому, основываясь на биологических соображениях, некоторые авторы предположили, что дожитие в человеческом сообществе управляется такими же простыми законами.

Второй аргумент — практический. Функция с несколькими параметрами легче воспринимается, чем таблица смертности с, возможно, 100 параметрами или вероятностями смерти.

Кроме того, некоторые из аналитических выражений обладают простыми свойствами, которые удобны при выводе вероятностных утверждений, касающихся более чем одного лица.

Третий аргумент для простых аналитических функций дожития — легкость оценивания параметров этой функции на основе данных о смертности.

В последние годы энтузиазм в отношении простых аналитических функций дожития существенно уменьшился. Многие полагают, что вера в универсальные законы смертности наивна. При все увеличивающемся быстродействии и объеме памяти компьютеров преимущества некоторых аналитических выражений при проведении вычислений, касающихся более чем одного лица, уже не играют значительной роли.

Однако в результате некоторых недавних исследований оживились биологические аргументы в поддержку аналитических законов смертности.

В табл. 7.1 приводятся несколько семейств простых аналитических функций смертности и дожития, соответствующих различным известным законам. Для удобства ссылок указаны названия законов, лежащих в их основе, и даты публикации.

Таблица 7.1. Функции смертности и дожития для различных распределений

Исходное распределение		Ограничения
Де Муавр (1729)
Гомперц (1825)	ехр[-m(сx-1)]	В > 0, с > 1, х>О
Мейкем (1860)	ехр[-Аx-m(сx-1)]	В > 0, А >= -В, с > 1, x>0
Вейбулл (1939)		k>0, n>0, x>=0

Отметим следующие факты:

Специальные символы определяются формулами m =B/ln(c), u=k/(n+1).

Закон Гомперца является частным случаем закона Мейкема при А = 0.

Если с = 1 в законах Гомперца и Мейкема, то мы приходим к показательному (постоянная интенсивность смертности) распределению.

При рассмотрении закона Мейкема считалось, что константа А отвечает несчастному случаю, а выражение Всx— старению.

Выражения в столбце s(x) табл. 7.1 были получены подстановкой в (2.16). Например, для закона Мейкема

где m = В/ In с.

Селекционные и заключительные таблицы

В разд. 2 рассматривалось, как можно двумя способами интерпретировать величину tPx, вероятность того, что лицо (х) доживет до возраста х + t.

Первая интерпретация состояла в том, что эту вероятность можно вычислить на основе функции дожития для новорожденных при единственном предположении, что новорожденный доживет до возраста х. Эта интерпретация стала основой для обозначений и для выведения формул.

Вторая интерпретация состояла в том, что дополнительная информация о лице возраста х может сделать исходную функцию дожития непригодной для вычисления вероятностных утверждений о продолжительности предстоящей жизни лица (х) .

Например, некоторое лицо может пройти обследование и быть принятым на страхование в возрасте х. Наличие этой информации позволило бы считать, что распределение продолжительности предстоящей жизни лица (x) отличается от того, которое мы считали бы подходящим для лица возраста х, если бы не располагали этой информацией.

Второй пример: некоторое лицо может стать инвалидом в возрасте х. Эта информация позволяет нам предполагать, что распределение продолжительности предстоящей жизни лица (х) отлично от соответствующего распределения для лица, не ставшего инвалидом в возрасте х.

В этих двух примерах следует отдать предпочтение специальной интенсивности смертности, учитывающей конкретную информацию, которая становится известной в возрасте х. Без этой конкретной информации об (х) интенсивность смертности по прошествии времени t будет функцией только достигнутого возраста х + t, что в предыдущем разделе обозначалось через μ(х + t).

Если известна дополнительная информация в момент х, то интенсивность смертности в момент х + tявляется функцией этой информации в момент х и величины t . Мы будем обозначать ее через μx(t), где отдельно указывается возраст х, в котором была доступна дополнительная информация, и величина t . Сама дополнительная информация в явной форме в это обозначение не входит, но ясна из контекста.

Другими словами, полная модель для таких лиц является набором функций дожития, по одной для каждого возраста, в котором имеется информация о принятии на страхование, об инвалидности и т. п. Это множество функций дожития можно воспринимать как функцию двух переменных.

Одна переменная — возраст в момент селекции (например, в момент выдачи страхового договора или наступления инвалидности) [х] и вторая переменная — время, прошедшее с момента выдачи договора или с момента селекции t . Тогда каждая из обычных функций таблицы смертности, отвечающая такой функции от двух пере менных, является двумерным массивом по [х] и t .

Мы используем здесь квадратные скобки, чтобы отметить переменную, относящуюся к возрасту, в котором проводилась селекция. Когда наличие селекции явствует из интенсивности смертности, мы будем опускать квадратные скобки, чтобы не усложнять обозначения.

Схематическая диаграмма на рис. 8.1 иллюстрирует эти соображения. Например, предположим, что имеется некоторая специальная информация о группе лиц возозраста 30 лет. Может быть, они были приняты на страхование, а может быть, стали инвалидами.

Для этих лиц можно построить специальную таблицу смертности. Условная вероятность смерти в каждый год с момента селекции будет обозначаться q+i i = 0,1,2,..., и будет входить в первую строку на рис. 8.1. Индекс сражает двумерную природу этой функции, где в квадратные скобки заключен возраст тридцать лет, , т. е. функция дожития в первой строке опирается на специфическую информацию, имеющуюся в возрасте 30 лет.

Вторая строка на рис. 8.1 будет содержать вероятности смерти для лиц, относительно которых специфическая информация стала известной к возрасту 31. В актуарной науке такая двумерная таблица смертности называется селекционной таблицей смертности

Путь для совокупности дожития, прошедшей сеекцию в возрасте [х]

Линия, связывающая ячейки для лиц, достигших одинакового возраста, по прошествии 15 лет с момента селекции

Другой путь для совокупности дожития по прошествии 15 лет с момента селекции; эти вероятности составляют заключительную таблицу смертности

Рис. 8.1. Селекционная, заключительная и агрегативная смертность, 15-летний период селекции

Замечания

В биостатистике индекс [х] селекционной таблицы не обязан быть возрастом. Например, в исследованиях онкологических заболеваний [х] может быть классификационным индексом, который зависит от размера и местоположения опухоли, и время после селекции будет отсчитываться от момента постановки диагноза.

Заключительную смертность, после 15-летнего периода селекции, для возраста [x] + 15 следует оценивать, используя наблюдения из всех ячеек, вида [х — j]+ 15 + j , j = 0,1,2,.... Поэтому q[x]+15 = qx+15оценивается взвешенным средним оценок смертности по различным группам селекции. Если эффект селекции достаточно ве
лик, то на получаемую оценку будут влиять данные из различных ячеек.

Влияние селекции на распределение продолжительности предстоящей жизни Т может уменьшаться по мере удаления от момента селекции. Вне некоторого времен ного интервала величины q для лиц одинакового возраста будут по существу равны вне зависимости от возраста в момент селекции.

Точнее, если имеется наименьшее целое число r, такое, что |q[x]+r-q+r+j| меньше, чем некоторая маленькая положительная постоянная, для всех возрастов селекции [х] и для всех j > 0, то было бы экономично построить множество селекционных и заключительных таблиц, срезая двумерный массив после колонки r + 1.

Для временных интервалов, превосходящих г, мы можем использовать соотношение

Первые r лет после момента селекции составляют период селекции.

Получающийся массив содержит некоторое множество таблиц смертности, по одной на каждый возраст селекции, причем для одного возраста селекции элементы таблицы смертности расположены по горизонтали в течение периода селекции, а затем по вертикали в заключительный период. Это показано на рис. 8.1 стрелками.

В исследованиях смертности, проводившихся Обществом актуариев для лиц, которые были застрахованы по стандартному договору индивидуального страхования жизни, использовался 15-летний период селекции (см. рис. 8.1), т. е. считается, что

За пределами периода селекции вероятности смерти снабжаются одним индексом, достигнутым возрастом, т.е. вместо q+r+jпишется qx+r - Например, при r = 15 и вместо q+15 и вместо q+20 пишется q45.

Таблица смертности, в которой функции даются только для достигнутых возрастов, называется агрегативной таблицей. Такой, например, является табл. 3.1. Последний столбец в селекционной и заключительной таблице является специальной агрегативной таблицей, которая обычно называется заключительной таблицей, что отражает использование селекции.

Таблица 8.1 содержит вероятности смерти и соответствующие значения функций l[x]+ k из издания «Permanent Assurances , Females , 1979-82, Tables», опубликованного Институтом и факультетом актуариев Великобритании.

Ее называют таблицей AF 80. У этой таблицы двухлетний период селекции, и ее проще использовать для иллюстраций, чем таблицы с 15-летним периодом, такие, как «Основные таблицы», опубликованные Обществом актуариев США.

Таблица 8.1. Выдержка из селекционной и заключительной таблицы AF 80

В табл. 8.1 мы имеем три вероятности смертности для возраста 32, а именно

q = 0,000250 < q+1 = 0,000352 < q32= 0,000422.

Упорядочение этих вероятностей понятно, поскольку смертность для лиц, только что принятых на страхование на случай смерти, должна быть ниже. Можно считать, что столбец (3) предоставляет информацию о заключительных вероятностях смертности.

Таблица смертности – таблица, показывающая число лиц в пределах указанной группы (мужчин, женщин, работников, определенной профессии и т.д.), начиная с определенного возраста, которые, как предполагается, будут живы по достижении определенного возраста. Таблица применяется для определения величины суммы простой страховой премии для индивидуального полиса по страхованию жизни.

В таблицу включают следующие показатели:

Число доживающих до возраста х лет(l x ) – численность доживающих до данного возраста в теоретическом поколении таблицы. Начальная численность, или корень таблицы

Статистические данные о продолжительности жизни суммируются в таблицах, позволяющих получить приближенную картину смертности. В таблицу включают данные: (l 0 ) , обычно принимается за 100 000 (реже за 1, 1 000 или 10 000). При(l 0 ) =1 величинаl x – вероятность для новорожденного дожить до точного возрастах лет. Числа доживающих представляют собой значения функции дожития для возрастов, входящих в таблицу смертности:

Число умирающих (d х ) – численность умерших в интервале возрастов от х дох +1:

d x = l x +1 + l x ;

Вероятность смерти в течение предстоящего одного года жизни (g x ) :

g x = d x / l x .

Величину g 0 обычно называют коэффициентом младенческой смертности;

Вероятность дожития до следующего возраста х +1, обозначимр х :

р х = 1- g x ;

Число человеко-лет жизни в интервале возраста от х дох +1, (чаще, но менее точно, именуется числом живущих в интервале возраста отх дох +1) обычно обозначаетсяL х ;

Число человеко-лет жизни в возрасте х , лет и старше (Т х ):

Т х = L х + L х+1 +…+ L w ,

где величина w–последний возраст, для которого проведены вычисления;

ожидаемая продолжительность жизни в возрасте х лет (е х ):

е х =Т х /1 х .

Методика построения нетто-ставки по страхованию жизни основывается на теории вероят-ностей с использованием таблиц смертности.

Например, 100 000 застрахованных, сгруппированных по возрастам, сформирована табл.5.1. показатели смертности.

Таблица 5.1

Показатели смертности

Рассчитаем премию для человека в возрасте 55 лет для полиса на один год на сумму 1 000 рублей: 1000 х 0,01190 = 11,9 рубля.

5.5 Страхование от несчастных случаев и болезней

Целью страхования от несчастных случаев является возмещение вреда, причиненного здоровью и жизни застрахованного в результате несчастного случая.

Под несчастным случаем понимается физическое повреждение, следствием которого является временная инвалидность, постоянная инвалидность или смерть.

Страхование от несчастных случаев может осуществляться в обязательной форме или надобровольной основе.

Обязательное страхование от несчастных случаев является одним из элементов системы социального страхования и распространяется на риски производственных травм, и профессиональ-ных заболеваний. Страхование от несчастных случаев на производстве действует в отношении последствий несчастных случаев, происходящих на рабочем месте или в рабочее время, включая время следования к месту осуществления служебных функций и следования с места работы домой. Страховые взносы в полном объеме уплачивает работодатель.

Обязательным государственным страхованием от несчастных случаев является страхование жизни и здоровья тех категорий государственных служащих, чья профессиональная деятельность связана с повышенным риском несчастного случая при исполнении ими служебных обязанностей. Это военнослужащие, сотрудники органов внутренних дел, судьи, судебные приставы, служащие налоговой полиции, работники учреждений и органов уголовно-исправительной системы и т.п. Государственное страхование покрывает риски смерти, утраты трудоспособности застрахованного вследствие травмы, увечья, телесных повреждений, наступивших при выполнении застрахован-ным служебных обязанностей. Страховое обеспечение устанавливается на основе размера должностного оклада либо на основе размера минимальной месячной оплаты труда. Основы обязательного государственного страхования различных категорий служащих закреплены в соответствующих нормативных актах.

Обязательное личное страхование пассажиров от несчастных случаев производится при перевозках воздушным, железнодорожным, водным и автомобильным транспортом по междугородным и туристическим маршрутам иосуществляется в отношении рисков смерти, травмы, телесных повреждений, произошедших в результате несчастного случая, возникшего при следовании каким-либо из перечисленных видов транспорта. Максимальная страховая сумма, подлежащая выплате в случае гибели пассажира, закреплена законодательно и составляет 120 минимальных месячных размеров оплаты труда и рассчитывается на дату приобретения проездного документа. В случае получения травмы или увечья, размер страхового обеспечения рассчитывается пропорционально тяжести полученных в результате аварии телесных повреждений или травм. Стоимость страхования включается в стоимость проездного документа.

Добровольное страхование от несчастных случаев и болезней имеет несколько моделей реализации (индивидуальное и коллективное) и обеспечивает застрахованным лицам страховую защиту от экономических последствий наступления телесных повреждений, внезапного заболевания, утраты трудоспособности, смерти, произошедших в результате непредвиденных и случайных событий, квалифицируемых как несчастный случай. Договор заключается на основании письменного заявления клиента о страховании от несчастного случая. Критерии отбора несчастных случаев: субъективный риск, профессия, возраст и др.

Лица, заключившие договор о страховании от несчастных случаев, имеют в основном со-циальный статус выше среднего, ведут более активный образ жизни, путешествуют чаще средне-статистического жителя и в целом подвергаются большей вероятности несчастного случая, что в конце концов и приводит к заключению договора о страховании от несчастных случаев. Что же касается субъективного риска, то страховые компании не склонны принимать ходатайства от лиц:

Ходатайствующих об очень высоких страховых суммах;

Имеющих другие полисы этой же самой или другой страховой компании в связи с тем, что итоговая страховая сумма будет очень большой;

Имеющих неблагоприятное материальное положение;

Попадавших в несчастные случаи несколько раз за небольшой период времени.

Рассмотрим критерии отбора риска в страховании от несчастных случаев.

Профессия - это решающий критерий отбора риска в страховании от несчастных случаев. Не принимаются к страхованию лица, чья работа, связана с взрывчатыми веществами, артисты цирка, водолазы, минеры. Некоторые профессии оставляются на усмотрение страховщика - лесоруб, подрывник, профессии, связанные с работой в сложных геологических и климатических условиях.

Каждая страховая компания составляет список профессий, представляющих особую опасность возникновения несчастных случаев.

Здоровье - важный критерий отбора риска в страховании несчастных случаев. Он предполагает проведение медицинского осмотра в спорных и неясных ситуациях. Необходимо принимать во внимание заболевания или физические дефекты, которые:

Способствуют наступлению несчастного случая;

Продлевают период выздоровления;

Увеличивают затраты на лечение;

Затрудняют определение факта наступления страхового случая (где заканчивается болезнь и начинается несчастный случай).

Следующим критерием является возраст. Риск несчастного случая увеличивается вместе с возрастом в основном из-за утраты рефлексов и подвижности и, что является наиболее важным, при наступлении страхового случая процесс восстановления длится намного дольше. Положительный фактор здесь в том, что более старшему возрасту соответствуют большая осторожность и меньшая подверженность риску.

Страховые компании склонны определять как норму принятия риска предельный возраст не более 65 лет, смягчая этот пункт условием, что если лицо уже застраховано с более юного возраста, то страхование можно продлить до более позднего возраста, до 70-75 лет.

Основным критерием тарификации в страховании от несчастных случаев является профессия. Другие критерии тарификации, например, увлечение спортом или вождение мотоцикла, дополняют его.

Ранее существовало от 12 до 16 классов риска в одном тарифе несчастных случаев, сейчас количество классов риска сокращено до 4.

Страхование от несчастных случаев может гарантировать все или некоторые из следующих выплат:

Выплата капитала в случае смерти;

Выплата капитала в случае частичной инвалидности;

Выплата ежедневной суммы в случае временной нетрудоспособности;

Оплата медицинской помощи.

Наиболее распространенными определениями утраты трудоспособности, используемыми в практике российских страховых организаций, являются следующие.

Постоянная полная утрата общей трудоспособности - полная и абсолютная нетрудоспособность, которая не позволяет застрахованному лицу заниматься какой-либо трудовой деятельностью и которая длится до конца его жизни.

Частичная полная утрата общей трудоспособности - потеря конечностей, зрения, слуха, речи или обоняния. Таким образом, данный вид утраты трудоспособности приравнивается к определенному виду телесных повреждений или иного ухудшения функций организма.

Под телесными повреждениями при этом понимают нарушение физической целостности организма или заболевание застрахованного, предусмотренное таблицами размеров страховых выплат, произошедшее в период действия договора страхования вследствие несчастного случая.

Временная утрата трудоспособности (болезнь) - определяемая врачом неспособность по состоянию здоровья выполнять работу в течение относительно недолгого промежутка времени - до трех месяцев, по истечении которого больной должен быть направлен на освидетельствование ВТЭК для установления степени утраты общей способности к труду.

Страховщики также выделяют понятие утраты профессиональной трудоспособности, которая предполагает полную или частичную нетрудоспособность, которая не позволяет застрахованному лицу заниматься его профессиональной деятельностью.

Инвалидность - социальная недостаточность вследствие нарушения здоровья со стойким расстройством функций организма, приводящая к ограничению жизнедеятельности и необходимости социальной защиты. Требованиями МСЭК предусматривается установление трех групп инвалидности.

Первая группа инвалидности предполагает социальную недостаточность вследствие нарушения здоровья со стойким значительно выраженным расстройством функций организма, обусловленным заболеваниями, последствиями травм или дефектами, приводящим к резко выраженному ограничению жизнедеятельности.

Вторая группа инвалидности определяется как социальная недостаточность вследствие нарушения здоровья со стойким выраженным расстройством функций организма, обусловленным заболеваниями, последствиями травм или дефектами, приводящим к выраженному ограничению жизнедеятельности.

И третья группа инвалидности выделяется в отношении социальной недостаточности вследствие нарушения здоровья со стойким незначительно или умеренно выраженным расстройством функций организма, обусловленным заболеваниями, последствиями травм или дефектами, приводящим к умеренно выраженному ограничению жизнедеятельности.

При страховании от несчастных случаев и болезней страховщики используют два подхода к построению страховой защиты:

а) первый подход основывается на принципах страхования от всех рисков, при этом довольно четко идентифицируются виды покрываемых застрахованных событий (травма, смерть в ре-зультате несчастного случая, временная утрата трудоспособности и т.п.), однако без установления конкретных причин таких последствий, но с выделением перечня исключений (изъятий);

б) второй подход следует принципу страхования на основе поименованных опасностей, при этом в полисе (правилах страхования) приводится подробный перечень всех событий, которые признаются или не признаются застрахованными и соответственно включаются в страховое покрытие или исключаются из него. Например, травмы и иные телесные повреждения либо вред здоровью в результате:

Занятий любительским спортом;

Спасения людей или имущества, допустимой самообороны;

Нападения или покушения;

Погружения, утопления;

Аварийного выброса газа или пара;

Удара электротоком;

Попадания инородного тела в дыхательные пути;

Ожогов и иных повреждений;

Укусов животных, змей, жалящих насекомых и т.п.

В случае смерти в результате несчастного случая страховщик выплачивает выгодоприоб-ретателю, указанному в страховом полисе, или наследникам страхователя (застрахованного лица) установленную страховую сумму. При травмах, телесных повреждениях, иных повреждениях здоровью выплата страхового обеспечения осуществляется на основе таблиц страховых выплат.

Построение тарифов по страхованию жизни имеет следующие особенности:

1. Расчеты производятся с использованием демографической статистики и теории вероятности.
2. При расчетах применяются способы долгосрочных финансовых исчислений.
3. Тарифные ставки-нетто состоят из нескольких частей, каждая из которых призвана сформировать страховой фонд по одному из видов страховой ответственности, включенных в условия страхования.

Сочетание математических методов, применяемых в статистике, теории вероятности и долгосрочных финансовых исчислений породило особую отрасль науки - теорию актуарных расчетов, на основе которой устанавливаются тарифные ставки и резерв взносов по страхованию жизни. Актуарные расчеты - это система математических и статистических методов, с помощью которых определяются финансовые взаимоотношения страховщика и страхователя по долгосрочному страхованию жизни.

Тарифная ставка определяет, сколько денег каждый из страхователей должен внести в общий страховой фонд с единицы страховой суммы. Поэтому тарифы должны быть рассчитаны так, чтобы сумма собранных взносов оказалась достаточной для выплат, предусмотренных условиями страхования. Таким образом, тарифная ставка - это цена услуги, оказываемой страховщиком населению, т.е. своеобразная цена страховой защиты. От чего же зависят ее размеры, как установить цену на тот или иной вид страхования жизни?

Полная тарифная ставка называется брутто-ставкой. Она состоит из нетто-ставки и нагрузки. Задача нетто-ставки - обеспечить выплаты страховых сумм, т.е. выполнение финансовых обязательств страховщика по договорам страхования. Нагрузка предназначена компенсировать расходы наведение страховых операций. Своеобразие операций страхования жизни проявляется при построении нетто-ставки. Условия страхования жизни обычно предусматривают выплаты в связи с дожитием застрахованного до окончания срока действия договора страхования или в случае его смерти в течение этого срока. Кроме того, предусматриваются выплаты в связи с потерей здоровья вследствие травмы и некоторых болезней. Таким образом, для исчисления объема страхового фонда нужно располагать сведениями о том, сколько лиц из числа застрахованных доживет до окончания срока действия их договоров страхования и сколько из них каждый год может умереть, у скольких из них и в какой степени наступит потеря здоровья. Количество выплат, помноженное на соответствующие страховые суммы, позволит определить размеры предстоящих выплат, т.е. появится возможность узнать, в каких размерах нужно будет аккумулировать страховой фонд.

Продолжительность жизни отдельных людей колеблется в широких пределах. Она относится к категории случайных величин, численное значение которых зависит от многих факторов, настолько отдаленных и сложных, что, казалось бы, их невозможно выявить и изучить. Теория вероятности и статистика исследуют случайные явления, имеющие массовый характер, в том числе смертность населения. Установлено, что демографический процесс смены поколений, выражаемый в изменении уровня повозрастной смертности, подчинен закону больших чисел, столь однообразному в своих проявлениях и столь достоверному в результатах, что он в состоянии служить основой финансовых расчетов в страховании.

Демографической статистикой выявлена и выражена с помощью математических формул зависимость смертности от возраста людей. Разработана специальная методика составления так называемых таблиц смертности, где на конкретных цифрах показывается последовательное изменение смертности вслед за возрастом. Этими таблицами страховые организации пользуются для расчета тарифов.

Кроме закономерностей, связанных с процессом доживаемости и смертности, при построении тарифов учитывается долгосрочный характер операций страхования жизни, поскольку эти договоры заключаются на длительные сроки: 3 и более лет. В течение всего времени их действия (или в самом начале срока страхования при единовременной уплате) страховые органы получают взносы. Выплаты же страховых сумм производятся на протяжении срока страхования или по истечении определенного периода от начала действия договора, если наступит смерть застрахованного или он утратит здоровье.

Временно свободные средства, аккумулируемые страховой организацией, используются как кредитные ресурсы. За пользование ими уплачивается ссудный процент. Но если при сберегательной операции доход от процентов присоединяется ко вкладу, то в страховании на сумму этого дохода заранее уменьшаются (дисконтируются) подлежащие уплате взносы страхователя. Для того чтобы заранее понизить тарифные ставки на тот доход, который будет складываться в течение ряда лет, используются методы теории долгосрочных финансовых исчислений.

Тарифные ставки в страховании жизни состоят из нескольких частей. Возьмем для примера смешанное страхование жизни. В нем объединяются несколько видов страхования, которые могли бы быть и самостоятельными:

1) страхование на дожитие;
2) страхование на случай смерти;
3)страхование от несчастных случаев.

По каждому из них при помощи тарифа создается страховой фонд, поэтому тарифная ставка в смешанном страховании состоит из трех частей, входящих в нетто-ставку, и четвертой части -- нагрузки. Структура тарифной ставки, а, следовательно. Аналогично складывается структура тарифных ставок и по другим видам страхования жизни.

Таблица смертности содержит расчетные показатели, характеризующие смертность населения в отдельных возрастах и доживаемость при переходе в другую возрастную группу.

Представим себе, что в данном году появилось 100 000 новорожденных. Возраст человека обозначим символом х. Тогда х=0. Число лиц, доживающих до каждого возраста, принято обозначать символом lx. Таким образом, число новорожденных lo= 100 000. По таблице можно определить, сколько из них доживет до каждого конкретного возраста. Так, до 18 лет доживет 97028 человек, т.е. l18=97028, до 20 лет--96773, до 40 лет -- 92246, до 50 лет-- 87064, а до 85 -- 18900 человек.

Из этой же таблицы можно узнать, сколько человек каждый год умирает. Число лиц, умирающих в течение года, т.е. при переходе оn возраста х к возрасту х + 1 год, обозначим символом dx. Тогда из нашей совокупности новорожденных до 1 года не доживет 1782 человека (do -1782), до 19 лет - 121 человек из восемнадцатилетних (d18 - 121), до 41 года не доживет 374 человека 40-летних (d40), а до возраста 86 лет не доживет 2616 85-летних.

Для удобства расчетов исчисляются показатели вероятности умереть qх в течении определенного года жизни. Вероятность умереть в возрасте х лет, не дожив до возраста х+1 год, равна qх= dx / lx, то есть частному от деления числа умирающих на число доживающих до данного возраста. Например, qо= 0.017 82, q18=0.001 25, q40=0.004 06, а q85=0.138 40. Это означает, что из 1000 000 18-летних до 19 лет не доживет 125 человек, а из 100 000 40-летних до 41 года - 406 человек.

Располагая показателями вероятности умереть, страховщик с достаточной степенью уверенности может предположить, что в течении ближайшего года из числа застрахованных в возрасте 40 лет может умереть 041 %, в возрасте 41 года - 0,43%, в возрасте 50 лет - 0,84 %. В отдельные годы эти числа могут быть несколько большими или меньшими, но вероятность отклонений чрезвычайно мала.

Пользуясь таблицей смертности, можно узнать вероятность дожить до любого интересующего нас возраста. Она обозначается символом px и равняется 1- qx, то есть на протяжении определенного периода каждый человек либо доживет, либо не доживет до его окончания, поэтому сумма вероятностей умереть и дожить, равна единице, то есть достоверна. Например, для 40-летнего лица вероятность дожить до 41 года равна p40=1-0.000406=0.9594.

Таблица смертности может содержать показатели среднеq продолжительности жизни (ех) лиц, достигших определенного возраста, при условии, что повозрастная смертность населения, которая положена в основу построения таблиц смертности, для всего периода предстоящей жизни данного поколения останется неизменной. Таблица показывает, сколько лет в среднем предстоит прожить одному человеку из числа родившихся или из числа достигших данного возраста.

Основными в таблице смертности являются показатели вероятности умереть. Их исчисляют на основе данных переписей населения или наблюдений страхового учреждения.

Таблица 1.

Извлечение из таблицы смертности и средней продолжительности жизни.

Возраст, лет	Число доживающих до возраста х l(x)	Число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+1 лнт (dx)	Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни (qx)	Средняя продолжительность жизни (ех)

Норма процента. Ее математическое выражение и влияние на величину тарифных ставок

Взносы, аккумулируемые страховщиком, временно используются в хозяйстве как кредитные ресурсы и приносят определенный доход. Рассмотрим способы, при помощи которых тарифные ставки заранее занижаются на сумму этого дохода.

Размер дохода, приносимого за год единицей денежной суммы, называется нормой процента, или нормой доходности. Обозначают ее символом i. Например, i=0.03 означает, что каждый рубль дает три копейки годового дохода, а вся сумма - 3% дохода. Таким образом, 1% равен 100 i. В страховании доход рассчитывается по отношению к одной денежной единице, а не к сотне единиц, как это делается в других случаях.

Абсолютный размер дохода, начисляемого на средства страховой организации помимо нормы доходности (процентной ставки) зависит еще от размера той суммы, которая отдана в кредит, и от времени, в течение которого она находилась в обороте.

Для примера подсчитаем, во что превратится денежная сумма величиной в 100 000 грн. через 10 лет. Сумму, которая отдается в кредит обозначим символом А, время, в течении которого она находится в обороте, (10 лет) - п, норму процента (3%) - символом i. Расчет производится по формуле сложных процентов. В конце каждого года образовавшийся за год доход присоединяется к денежной сумме на начало года, и в следующем году процент приносит уже новая, наращенная сумма. При норме процента i спустя год каждая денежная единица превратится в 1+ i, то есть при i=0.03 в 1030 руб (1000 грн.+30 грн.). Отсюда А таких единиц будет А(1+i), или 103000 грн. (100000 грн.*1.03).

Сумму, которая сложится к концу первого года (103000 грн.), обозначим символом В1. Тогда В1=А(1+ i). Соответственно к концу второго года (и началу третьего) эта сумма составит:В2=В1(1+ i)*(1+ i)=А(1+ i)2. В конце третьего года новая сумма В3=В2(1+ i)=А(1+ i)3

Через 10 лет первоначальная денежная сумма А даст наращенную сумму

В10=А(1+ i)10, а через п лет - В=А(1+ i)п.

Величина (1+ i) называется процентным множителем. За п лет он равен(1+ i)п.

На практике применяются таблицы с заранее исчисленными значениями (1+i) при заданной норме доходности.

В нашем примере сумма в 100000 грн. через 10 лет при i=0,03 будет равна В10(100*1.34392)=134390 грн.

Очевидно, что чем выше норма процента, тем быстрее возрастет первоначальная сумма. Так, при 3%-ной норме она удваивается за 23 года, при 5%-ной - за 14 лет, при 7%-ной - за 10 лет.

Используя таблицу смертности, страховщик определяет величину страхового фонда Вп, необходимого для выплаты в обусловленные сроки страховых сумм.

Для осуществления актуарных расчетов, в том числе расчетов стоимостей страховых аннуитетов, необходимы исходные данные, характеризующие совокупность застрахованных по полу и возрасту, а также система нормативных демографических показателей, отражающих статистические закономерности дожития до того или иного возраста. Последние содержатся в таблицах смертности (mortality tables).

Таблица смертности представляет собой числовую модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей. Такая таблица показывает, как последовательно с увеличением возраста уменьшается эта совокупность, достигая нуля сразу после предельного возраста W. Она является обобщением данных демографической статистики за некоторый период времени.

В России таблицы смертности разрабатываются статистическими органами для страны в целом, а также для крупных экономических районов и областей, как для всего, так и отдельно для городского и сельского населения раздельно для каждого пола.

Прежде чем приступить к описанию таблицы смертности и актуарных методов анализа необходимо сказать несколько слов о применяемых в актуарных расчетах обозначениях. Актуарная символика в личном страховании сложна, своеобразна и с этим приходится мириться, так как обозначения унифицированы на международном уровне. Одна из отличительных особенностей этой символики -- множество нижних и верхних индексов, которые приписываются как справа, так и слева от основной переменной.

Основной показатель таблицы смертности -- число людей I x в возрасте ровно х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности I 0 , обычно равной 100 тыс. человек. Заметим, что и начальный возраст и первоначальное количество людей в таблице могут быть любыми -- выбор того или иного начального возраста не влияет на результаты актуарных расчетов. Для актуарных расчетов применяют полные таблицы смертности, в которых возраст показан с интервалом в 1 год.

Величины I x (кроме I 0) определяются расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (q x), или, что реже, количества умерших (d x). В современных таблицах смертности исходным показателем обычно служит вероятность смерти, т.е доля умерших в возрасте от х до x+1 лет из числа доживших до возраста х лет. Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим их усреднением и сглаживанием.

Помимо показателей I x таблица смертности содержит число умерших за год в каждой возрастной группе (dx). Никакие иные факторы выбытия, кроме повозрастных вероятностей умереть, при разработке таблицы во внимание не принимаются.

В качестве иллюстрации приведем фрагмент таблицы смертности для мужчин, в которой начальный возраст -- 18 лет.

Таблица смертности, является минимальной по набору показателей. Она достаточна для простых видов личного страхования -- страхования на дожитие и страхования жизни. На практике применяют и более полные таблицы. В частности, в групповом пенсионном и медицинском страховании применяют таблицы выбытия (decrement tables), в которых помимо смертности учитываются и другие причины сокращения числа участников страхования.

Таблица 1 Фрагмент таблицы смертности на 2010год.

Возраст x (полное число исполнив-шихся лет)	Коэффициент смертности в возрасте x лет m(x)	Вероятность смерти q(x) в интервале возрастов от x до x+1	Число прожитых лет умершими в возрасте x лет a(x)	Число доживших до возраста x лет l(x)	Число умерших d(x) в возрасте x лет	Число живущих L(x) в интервале возрастов от x до x+1лет	Число человеко-лет жизни в возрастах x лет и старше T(x)	Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни e(x) в возрасте x лет

Страховые вероятности

На основе данных таблицы смертности нетрудно получить систему вероятностей дожития, необходимую для расчета соответствующих страховых показателей. Рассмотрим наиболее важные из таких вероятностей.

Вероятность прожить от возраста х до х + n:

Вероятность прожить еще один год после возраста х лет:

ПРИМЕР Вероятность мужчине в возрасте 30 лет прожить еще 10 лет составит:

По данным таблицы смертности находят и вероятности смерти в определенных возрастах. Например, вероятность умереть в возрасте от x до x+n:

Вероятность умереть через m лет (на протяжении года m + 1) для лица в возрасте х лет составит:

В свою очередь вероятность для лица в возрасте х лет умереть в возрастном интервале от x + m до x + m + n лет определим следующим путем:

Из последнего выражения вытекает, что:

Иначе говоря, искомая вероятность равна произведению вероятности дожить до возраста х + m и вероятности умереть в следующие n лет.

ПРИМЕР: Найдем для мужчины в возрасте 30 лет вероятность умереть в течение двух лет после достижения им 33 лет. Находим:

В некоторых актуарных расчетах (например, в пенсионном страховании) необходимы вероятности дожития супружеских пар. Эти вероятности также рассчитываются по таблицам смертности. Пусть речь идет о супругах в возрасте х и у лет и необходимо оценить вероятности прожить еще n лет для каждого из них. Обозначим эти вероятности как nPx, nPy. Определим их следующим образом:

где l y , l y -- числа доживших до соответствующих возрастов (берутся из таблиц смертности для мужчин и женщин).

В свою очередь вероятности умереть для каждого из супругов составят:

Рассчитаем еще две вероятности. Однако предварительно примем две рабочие гипотезы:

Оба супруга достигают возрастов х и y один день;

Смерть одного супруга -- страховое событие, независимое от смерти другого супруга.

Вероятность прожить супругам вместе еще п лет (вероятность "сохранения" супружеской пары) рассчитывается как произведение вероятностей двух независимых событий:

В актуарной практике фигурирующие в формуле произведения чисел доживших принято обозначать следующим образом:

Формулу теперь можно записать:

Найдем теперь вероятность того, что супруг (заключивший договор страхования в возрасте х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до x + n лет, а супруга, напротив, доживет до у + n лет. Искомая вероятность (обозначим ее как nPx) равна произведению вероятностей: