Последовательная RC-цепь. Расчёт постоянной времени RC-цепочки Подключение rc цепи к выводу контроллера

) и сегодня мы рассмотрим еще один основополагающий элемент – а именно конденсатор . Также в этой статье мы рассмотрим дифференцирующую и интегрирующую RC цепь.

Упрощенно можно сказать, что конденсатор – это резистор, но не обычный, а зависящий от частоты. И если в резисторе ток пропорционален напряжению, то в конденсаторе ток пропорционален не просто напряжению, а скорости его изменения. Конденсаторы характеризуются такой физической величиной как емкость, которая измеряется в Фарадах. Правда 1 Фарад – это чертовски большая емкость, обычно емкости измеряются в нанофарадах(нФ), микрофарадах(мкФ), пикофарадах(пФ) итп.

Как и в статье про резисторы, давайте сначала рассмотрим параллельное и последовательное соединения конденсаторов . И если опять сравнивать соединения конденсаторов с соединениями резисторов, то тут все в точности да наоборот)

Общая емкость в случае параллельного соединения конденсаторов будет равна .

Общая емкость в случае последовательного соединения конденсаторов будет такой:

С соединениями конденсаторов между собой, в принципе, все понятно, особо нечего пояснять, так что двигаемся дальше 😉

Если записать дифференциальное уравнение, связывающее ток и напряжение в этой схеме, а затем его решить, то получим выражение, в соответствии с которым происходит заряд и разряд конденсатора. Не буду тут нагружать лишней математикой, просто посмотрим на конечный результат:

То есть разряд и заряд конденсатора происходит по экспоненциальному закону, вот смотрите на графики:

Как видите, тут отдельно отмечено значение времени τ. Запомните обязательно эту величину – это постоянная времени RC цепи и равна она: τ = R*C. На графиках, в принципе, обозначено на сколько заряжается/разряжается конденсатор за это время, так что не будем на этом еще раз останавливаться. Есть, кстати, полезное практическое правило – за время, равное пяти постоянным времени RC цепи, конденсатор заряжается или разряжается на 99%, ну то есть можно считать, что полностью)

Что же все это значит и в чем фишка конденсаторов?

А все просто, дело в том, что если на конденсатор подать постоянное напряжение, то он просто зарядится и все, а вот если приложенное напряжение будет переменным, тут то все и начнется. Конденсатор будет то разряжаться, то заряжаться, соответственно в цепи будет бегать ток. А в итоге мы получаем важный вывод – через конденсатор легко протекает переменный ток, а вот постоянный не может. Поэтому одно из самых важных предназначений конденсатора – разделить постоянную и переменную составляющие тока в цепи.

С этим разобрались, а теперь расскажу про дифференцирующие и интегрирующие RC цепи.

Дифференцирующая RC цепь.

Дифференцирующую цепочку еще называют ФВЧ – фильтром высоких частот, ее схема представлена ниже:

Как следует из названия, да, собственно, это видно и по схеме – RC-цепь не пропускает постоянную составляющую, а переменная преспокойно себе проходит через конденсатор на выход. Опять же название намекает, что на выходе мы будем получать дифференциал входной функции. Давайте попробуем подать на вход дифференцирующей цепи прямоугольный сигнал и посмотрим, что будет на выходе:

Когда на входе напряжение не меняется – на выходе ноль, так как дифференциал есть не что иное, как скорость изменения функции. Во время скачков напряжения на входе производная велика и на выходе мы наблюдаем всплески. Все логично 😉

А что же нам подать на вход данной RC цепи , если мы хотим получить на выходе прямоугольные импульсы? Правильно – пилообразное напряжение. Так как пила состоит из линейных участков, каждый из которых на выходе даст нам постоянный уровень, соответствующий скорости изменения напряжения, то в совокупности на выходе дифференцирующей RC цепочки мы получим прямоугольные импульсы.

Интегрирующая RC цепь.

Теперь пришло время интегрирующей цепочки. Также ее называют фильтром низких частот. По аналогии несложно догадаться, что интегрирующая цепь пропускает постоянную составляющую, а переменная уходит через конденсатор и не проходит на выход. Схема имеет следующий вид:

Если немножко вспомнить математику и записать выражения для напряжений и токов, то окажется что напряжение на выходе представляет собой интеграл входного напряжения. Из-за этого цепь и получила свое название)

Итак, мы рассмотрели очень важные, хоть и на первый взгляд, несложные схемки. Важно сразу понять, как все это работает и зачем все это вообще надо, чтобы впоследствии при решении конкретных задач сразу видеть подходящее схемотехническое решение. В общем, до скорой встречи в следующих статьях, если возникли какие-либо вопросы, обязательно спрашивайте 😉

Мы имеем полное право перейти к рассмотрению цепей, состоящих из этих элементов 🙂 Этим мы сегодня и займемся.

И первая цепь, работу которой мы рассмотрим – дифференцирующая RC-цепь.

Дифференцирующая RC-цепь.

Из названия цепи, в принципе, уже понятно, что за элементы входят в ее состав – это конденсатор и резистор 🙂 И выглядит она следующим образом:

Работа данной схемы основана на том, что ток, протекающий через конденсатор , прямо пропорционален скорости изменения напряжения, приложенного к нему:

Напряжения в цепи связаны следующим образом (по закону Кирхгофа):

В то же время, по закону Ома мы можем записать:

Выразим из первого выражения и подставим во второе:

При условии, что (то есть скорость изменения напряжения низкая) мы получаем приближенную зависимость для напряжения на выходе:

Таким образом, цепь полностью оправдывает свое название, ведь напряжение на выходе представляет из себя дифференциал входного сигнала.

Но возможен еще и другой случай, когда title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="134" style="vertical-align: -6px;"> (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства мы получаем такую ситуацию:

То есть: .

Можно заметить, что условие будет лучше выполняться при небольших значениях произведения , которое называют постоянной времени цепи :

Давайте разберемся, какой смысл несет в себе эта характеристика цепи 🙂

Заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненциальному закону:

Здесь – напряжение на заряженном конденсаторе в начальный момент времени. Давайте посмотрим, каким будет значение напряжения по истечении времени :

Напряжение на конденсаторе уменьшится до 37% от первоначального.

Получается, что – это время, за которое конденсатор:

при заряде – зарядится до 63%
при разряде – разрядится на 63% (разрядится до 37%)

С постоянной времени цепи мы разобрались, давайте вернемся к дифференцирующей RC-цепи 🙂

Теоретические аспекты функционирования цепи мы разобрали, так что давайте посмотрим, как она работает на практике. А для этого попробуем подавать на вход какой-нибудь сигнал и посмотрим, что получится на выходе. В качестве примера, подадим на вход последовательность прямоугольных импульсов:

А вот как выглядит осциллограмма выходного сигнала (второй канал – синий цвет):

Что же мы тут видим?

Большую часть времени напряжение на входе неизменно, а значит его дифференцаил равен 0 (производная константы = 0). Именно это мы и видим на графике, значит цепь выполняет свою дифференцирующую функцию. А с чем же связаны всплески на выходной осциллограмме? Все просто – при “включении” входного сигнала происходит процесс зарядки конденсатора, то есть по цепи проходит ток зарядки и напряжение на выходе максимально. А затем по мере протекания процесса зарядки ток уменьшается по экспоненциальному закону до нулевого значения, а вместе с ним уменьшается напряжение на выходе, ведь оно равно . Давайте увеличим масштаб осциллограммы и тогда мы получим наглядную иллюстрацию процесса зарядки:

При “отключении” сигнала на входе дифференцирующей цепи происходит аналогичный переходный процесс, но только вызван он не зарядкой, а разрядкой конденсатора:

В данном случае постоянная времени цепи у нас имеет небольшую величину, поэтому цепь хорошо дифференцирует входной сигнал. По нашим теоретическим расчетам, чем больше мы будем увеличивать постоянную времени, тем больше выходной сигнал будет похож на входной. Давай проверим это на практике 🙂

Будем увеличивать сопротивление резистора, что и приведет к росту :

Тут даже не надо ничего комментировать – результат налицо 🙂 Мы подтвердили теоретические выкладки, проведя практические эксперименты, так что давайте переходить к следующему вопросу – к интергрирующим RC-цепям .

Запишем выражения для вычисления тока и напряжения данной цепи:

В то же время ток мы можем определить из Закона Ома:

Приравниваем эти выражения и получаем:

Проинтегрируем правую и левую части равенства:

Как и в случае с дифференцирующей RC-цепочкой здесь возможны два случая:

Для того, чтобы убедиться в работоспособности цепи, давайте подадим на ее вход точно такой же сигнал, какой мы использовали при анализе работы дифференцирующей цепи, то есть последовательность прямоугольных импульсов. При малых значениях сигнал на выходе будет очень похож на входной сигнал, а при больших величинах постоянной времени цепи, на выходе мы увидим сигнал, приближенно равный интегралу входного. А какой это будет сигнал? Последовательность импульсов представляет собой участки равного напряжения, а интеграл от константы представляет из себя линейную функцию (). Таким образом, на выходе мы должны увидеть пилообразное напряжение. Проверим теоретические выкладки на практике:

Желтым цветом здесь изображен сигнал на входе, а синим, соответственно, выходные сигналы при разных значениях постоянной времени цепи. Как видите, мы получили именно такой результат, который и ожидали увидеть 🙂

На этом мы и заканчиваем сегодняшнюю статью, но не заканчиваем изучать электронику, так что до встречи в новых статьях! 🙂

Для анализа цепей переменного тока (или в общем случае схем, работающих с изменяющимися напряжениями и токами) можно использовать характеристики двух типов. Во-первых, можно рассматривать изменения напряжения U и тока I во времени, а во-вторых - изменение амплитуды при изменении частоты сигнала. И те, и другие характеристики имеют свои преимущества, и в каждом практическом случае приходится выбирать наиболее подходящие. Мы начнем изучение цепей переменного тока с временных зависимостей, а в разд. 1.18 перейдем к частотным характеристикам.

Каковы же свойства схем, в состав которых входят конденсаторы? Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим простейшую RC - цепь (рис. 1.29). Воспользуемся полученным ранее выражением для емкости:

C(dU/dt) = I = - U/R.

Это выражение представляет собой дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид:

U = Ae - t/RC .

Отсюда следует, что если заряженный конденсатор подключить к резистору, то он будет разряжаться так, как показано на рис. 1.30.

Рис. 1.30. Сигнал разряда RС - цепи.

Постоянная времени. Произведение RC называют постоянной времени цепи. Если R измерять в омах, а С - в фарадах, то произведение RC будет измеряться в секундах. Для конденсатора емкостью 1 мкФ, подключенного к резистору сопротивлением 1 кОм. постоянная времени составляет 1 мс, если конденсатор был предварительно заряжен и напряжение на нем составляет 1 В, то при подключении резистора в цепи появится ток, равный 1 мА.

На рис. 1.31 показана несколько иная схема. В момент времени t = 0 схема подключается к батарее. Уравнение, описывающее работу такой схемы, выглядит следующим образом:

I = C(dU/dt) = (U вх - U)/R.

и имеет решение

U = U вх + Ae -t/RC .

Не пугайтесь, если не поняли, как выполнено математическое преобразование. Важно запомнить полученный результат. В дальнейшем мы будем многократно его использовать, не прибегая к математическим выкладкам. Постоянная величина А определяется из начальных условий (рис. 1.32): U = 0 при t = 0, откуда А = -U вх и U = U вх (1 - e -t/RC).

Установление равновесия. При условии t » RC напряжение достигает значения U вх. (Советуем запомнить хорошее практическое правило, называемое правилом пяти RC. Оно гласит: за время, равное пяти постоянным времени, конденсатор заряжается или разряжается на 99%.) Если затем изменить входное напряжение U вх (сделать его равным, например, нулю), то напряжение на конденсаторе U будет убывать, стремясь к новому значению по экспоненциальному закону e -t/RC . Например, если на вход подать прямоугольный сигнал U вх, то сигнал на выходе U будет иметь форму, показанную на рис. 1.33.

Рис. 1.33. Напряжение, снимаемое с конденсатора (верхние сигналы), при условии, что на него через резистор подается прямоугольный сигнал.

Упражнение 1.13. Докажите, что время нарастания сигнала (время, в течение которого сигнал изменяется от 10 до 90% своего максимального значения) составляет 2.2 RC.

У вас, наверное, возник вопрос: каков закон изменения для произвольного U вх (t)? Для того чтобы ответить на него, нужно решить неоднородное дифференциальное уравнение (стандартные методы решения таких уравнений здесь не рассматриваются). В результате получим

U(t) = 1/RC t ∫ - ∞ U вх τe -t/RC dt.

Согласно полученному выражению, RC - цепь усредняет входное напряжение с коэффициентом пропорциональности e -t/RC где Δt = τ - t. На практике, однако, такой вопрос возникает редко. Чаше всего рассматриваются частотные характеристики и определяют, какие изменения претерпевает каждая частотная составляющая входного сигнала. Скоро (разд. 1.18) мы также перейдем к этому немаловажную вопросу. А пока рассмотрим несколько интересных схем, хотя анализа которых достаточно временных зависимостей.

Упрощение с помощью эквивалентного преобразования Тевенина. Можно было бы приступить к анализу более сложных схем, пользуясь, как и раньше, методом решения дифференциальных уравнений. Однако чаше всего не стоит прибегать к решению дифференциальных уравнений. Большинство схем можно свести к RC - схеме. показанной на рис. 1.34. Пользуясь эквивалентным преобразованием для делителя напряжения, образованного резисторами R 1 и R 2 , можно определить U(t) для скачка входного напряжения U вх.

Упражнение 1.14. Для схемы, показанной на рис. 1.34. R 1 = R 2 = 10 кОм и С = 0,1 мкФ. Определите U(t) и изобразите полученную зависимость в виде графика.

Пример: схема задержки. Мы уже упоминали логические уровни - напряжения, определяющие работу цифровых схем. На рис. 1.35 показано, как с помощью конденсаторов можно получить задержанный импульс. В виде треугольников изображены КМОП - буферные усилители. Они дают высокий уровень на выходе (более половины величины напряжения питания постоянного тока) и наоборот. Первый буферный усилитель воспроизводит входной сигнал и обеспечивает небольшое выходное сопротивление, предотвращая тем самым воздействие на источник сигнала RС - цепи (вопрос о нагрузке схемы мы рассмотрели в разд. 1.05). Согласно характеристике RС - цепи, выходной сигнал для нее задерживается относительно входного, поэтому выходной буферный усилитель переключается на 10 мкc позже скачка напряжения на входе (напряжение на выходе RС - цепи достигает 50% своего максимального значения через 0,7 RC). На практике приходится принимать во внимание отклонение входного порога буфера от величины, равной половине напряжения питания, так как это отклонение изменяет задержку и ширину выходного импульса. Иногда подобную схему используют для того, чтобы задержать импульс на время, в течение которого может произойти какое-либо событие. При проектировании схем лучше не прибегать к подобным трюкам, но иногда они бывают полезны.

Рис. 1.35. Использование RС - цепи для формирования задержанного цифрового сигнала.

Рассмотрим последовательную RC-цепь , состоящую из последовательно соединенных резистора и конденсатора.

Напряжение на зажимах цепи

По второму закону Кирхгофа это же напряжение можно определить как сумму падений напряжений на резисторе и конденсаторе

где

Тогда первое выражение можно переписать в следующем виде

Ток в цепи равен

Подставив в выражение выше, и выполнив интегрирование, получим

Напряжение на резисторе равно

Напряжение на конденсаторе

Как видно из последнего выражения напряжение на конденсаторе отстает от тока на угол π/2.

Реактивное (емкостное) сопротивление конденсатора равно

С уменьшением частоты емкостное сопротивление конденсатора увеличивается. При постоянном токе оно равно бесконечности, так как частота равна нулю.

Сдвиг фаз в последовательной RC – цепи можно определить по формуле

Полное сопротивление RC-цепи

Амплитудное значение тока

Рассмотрим пример решения задачи с RC-цепью

Полное сопротивление последовательной RC - цепи равно 24 Ом. Напряжение на резисторе равно 10 В, а его сопротивление 20 Ом. Найдите С, Uc , U , I , сдвиг фаз φ . Постройте векторную диаграмму.

Найдем ток, протекающий через резистор. Так как соединение последовательное, то этот ток будет общим для всей цепи.

Зная ток и сопротивление цепи, найдем напряжение

Емкостное сопротивление конденсатора

Зная сопротивление, найдем напряжение и емкость

Сдвиг фаз

Построим векторную диаграмму RC – цепи, при этом учитываем, что напряжение на конденсаторе отстает от тока (это видно по знаку сдвига фаз).

Сначала откладывается вектор тока в цепи, затем напряжение на резисторе и напряжение на конденсаторе. Затем строится вектор общего напряжения как сумма векторов напряжений на конденсаторе и на резисторе.